Dominguez.nl

De ABC formule is een handige snelle manier om de nulpunten van elke tweedegraadsvergelijking te vinden.

Vaak is het wel sneller en handiger om bij 'makkelijke' tweedegraadsvergelijkingen de methode van 'ontbinden in factoren' toe te passen.

Hieronder vind je het 'bewijs' van deze formule. Eigenlijk is het uiteraard geen bewijs, maar meer een afleiding.

De oplossingen van een tweedegraadsvergelijking van de vorm ax² + bx + c = 0 zijn

x =	-b ± Ö(b² - 4ac) 2a

Merk op dat als de discriminant b² - 4ac negatief is dat je dan géén oplossingen hebt, dat als hij gelijk aan 0 is, je slechts één oplossing hebt, en als de discriminant groter dan 0 is je altijd twee oplossingen hebt.

ax² + bx + c = 0

Beide kanten doen we keer 4a:

4a²x² + 4abx + 4ac = 0

Om kwadraten af te kunnen splitsen voegen we bij deze uitdrukking een term bij en die trekken we er gelijk weer af, waardoor er dus wezenlijk niets verandert:

4a²x² + 4abx + b² - b² + 4ac = 0

Merk op dat het eerste stukje (4a²x² + 4abx + b²) ook te schrijven is als:

4a²x² + 4abx + b² = (2ax + b)²

We kunnen 4a²x² + 4abx + b² - b² + 4ac = 0 nu schrijven als:

(2ax + b)² - b² + 4ac = 0
(2ax + b)² = b² - 4ac

Nu aan beide kanten trek je de wortel:
2ax + b = ±Ö(b² - 4ac)

En dit is ook te schrijven als:

2ax = -b ±Ö(b² - 4ac)

En door nu door 2a te delen hebben we de ABC formule afgeleid!