Dominguez.nl

De laatste stelling van Fermat heeft na meer dan drie eeuwen eindelijk een bewijs. In 1993 zag het er al eens naar uit dat het bekendste onopgeloste vraagstuk uit de wiskunde overwonnen was, maar het "bewijs" dat de Britse wiskundige Andrew Wiles toen voorstelde, bleek achteraf een fout te bevatten. In 1996 keerde Wiles terug voor een tweede poging, en zijn nieuwe bewijs ziet er onberispelijk uit, vinden collega-wiskundigen.

Experts vonden Wiles' eerste bewijs aanvankelijk ook veelbelovend, maar enkele maanden later, toen ze het grondig bestudeerd hadden, kwam er een fout in het bewijs aan het licht. Inmiddels hebben de wiskundigen enkele jaren de tijd gehad om het tweede, verbeterde bewijs onder de loep te nemen. En elke wiskundige is het erover eens: dit bewijs klopt!

In tegenstelling tot het bewijs, dat gebruik maakt van zeer ingewikkelde wiskundige ideeën, is de stelling zelf gemakkelijk te begrijpen. We kennen allemaal de stelling van Pythagoras: het kwadraat van de lengte van de schuine zijde van een rechthoekige driehoek is gelijk aan de som van de kwadraten van de rechthoekszijden. In formulevorm: x²+ y² = z². Allerlei trio's van getallen a, b en c voldoen aan deze formule, bijvoorbeeld 3, 4 en 5. Reken maar na: 3² + 4² = 5² . Dit trio is interessant omdat 3, 4 en 5 alle drie gehele getallen zijn. Dit drietal getallen heet een Pythagorisch drietal. Trio's met niet gehele getallen zijn gemakkelijk te vinden, bijvoorbeeld 1, 2 en de vierkantswortel van 5 (2,2360 ... ) - ook met nullen gaat het vlot: 17² + 0² = 17². Maar het is veel leuker om oplossingen te zoeken zonder nullen, met alleen maar gehele getallen. Dat zou je ook kunnen proberen met derde machten in plaats van met kwadraten: zoek gehele getallen a, b en c die voldoen aan a³ + b³ = c³. Of met vierde machten, of in het algemeen met n-de machten: aⁿ + bⁿ = cⁿ. Je kan het proberen, maar het zal je niet lukken, beweerde Pierre de Fermat in de jaren dertig van de zeventiende eeuw.
De laatste stelling van Fermat luidt dan ook: "Je kan geen positieve gehele getallen a, b en c vinden, zo dat aⁿ + bⁿ = cⁿ, als n groter is dan 2, (en je de triviale oplossingen uitsluit als bijvoorbeeld 0ⁿ + 1 ⁿ = 1 ⁿ)".

Fermat, een Frans jurist en wiskundige, schreef die bewering in de marge van een boek van de Griekse wiskundigeDiophantus. En hij voegde eraan toe: "Ik heb een werkelijk prachtig bewijs gevonden van deze stelling, maar deze marge is te smal om het op te schrijven." Fermats kantlijnaantekeningen werden na zijn dood in 1665 ontdekt, maar zijn "prachtige bewijs" was nergens te vinden. Het werd al gauw een onweerstaanbare uitdaging voor wiskundigen. Vele grote wiskundigen, en ontelbare amateur-wiskundigen, beten er hun tanden op stuk. Het vermoeden van Fermat zag er zeer aannemelijk uit, zoals iedereen zal beamen die een poosje vruchteloos naar getallen heeft gezocht die aan de formule voldoen. Maar niemand kon het bewijzen, Fermats "Laatste stelling" , het laatste nog onopgeloste van de vraagstukken die hij naliet, werd snel legendarisch. De onderzoekers boekten veel in zekere zin vooruitgang: ze toonden aan dat de stelling juist is voor welbepaalde waarden van de exponent n. Fermat zelf bewees de stelling al voor n = 4. Leonhard Euler vond een bewijs voor n = 3. Peter Gustav Lejeune Dirichlet toonde in 1825 aan dat de stelling klopt voor n = 5 en Henri-Laon Lebesgue liet het zien voor 7. Ernst Kummer sloeg een grote slag: de stelling bleek zeker juist voor alle exponenten kleiner dan honderd, uitgezonderd misschien voor 37, 59 en 67. Andere wiskundigen veroverden het gebied tot aan 150.000 en later tot vier miljoen. Het bleef daarmee natuurlijk heel goed mogelijk dat er ergens een triootje getallen bestond waarvoor bijvoorbeeld a^5000000 + b^5000000 = c^5000000 gold. Als er één zo'n voorbeeld gevonden werd, was aangetoond dat Fermat ongelijk had. Maar uitgebreide zoektochten, ook met krachtige computers, leverden niets op. Het leek er in elk geval sterk op dat Fermat gelijk had.

Geleidelijk begon er een volledig bewijs in zicht te komen. Wiskundigen legden steeds meer verbanden tussen de getalteorie, waarin Fermats stelling thuishoort, en andere takken van de wiskunde en daaruit kwamen nieuwe inzichten voort. In 1986 bewees Kenneth Ribet dat het vermoeden van Fermat volgde uit de "Shimura-Taniyama-Weil konjektuur", een onbewezen stelling over zogeheten elliptische krommen. Dat trok de aandacht van Andrew Wiles, een wiskundige aan de universiteit van Princeton die als tiener al geprobeerd had Fermats stelling te bewijzen. Wiles zette zich aan het werk om de Shimura-Taniyama-Weil konjektuur te bewijzen, waarmee dan meteen ook Fermats laatste stelling bewezen zou zijn. Zeven jaar besteedde hij al zijn tijd eraan.

In juni 1993 presenteerde Wiles het resultaat van zijn inspanningen, op een congres aan de universiteit van Cambridge. Zijn lezing had de onschuldig klinkende titel "Modular Forms, elliptic curves and galois representations", maar ingewijden vermoedden dat het over Fermat zou gaan.

Toen aan het licht kwam dat zijn bewijs niet klopte, ging Wiles meteen aan de slag om een verbeterde versie te zoeken. Hij kreeg hulp van Richard Taylor van de universiteit van Cambridge, om de onvolkomendheden in zijn bewijs op te vullen. Ze hadden blijkbaar succes, want experts over heel de wereld zijn enthousiast over hun werk.

Wiles heeft de Shimura-Taniyama-Weil konjektuur gedeeltelijk bewezen, en de stelling van Fermat volgt uit het bewezen stuk, voor alle waarden van de exponent n vanaf vijf. Aangezien de stelling al lang bewezen was voor drie en vier, hebben we nu een volledig bewijs.

En Fermats "prachtige bewijs"? Wiles gelooft er niet in, en de meeste andere specialisten evenmin. De wiskundige technieken die in de zeventiende eeuw voor handen waren, kunnen nooit voldoende zijn geweest voor een bewijs. Fermat moet zich dus vergist hebben toen hij schreef dat hij zijn vermoeden kon bewijzen. Maar hij heeft de wiskundigen wel drie eeuwen plezier bezorgd.

Hieronder staat het bewijs staan voor n = 4, die Fermat zelf ook heeft bewezen. Het geval voor n = 3 is ook niet echt moeilijk te bewijzen, maar aangezien het een stuk ingewikkelder is dan het geval voor n = 4 laat ik het hier achterwege. Voor het geval n = 5 en n = 7 is het bewijs al een stuk moeilijker en niet te begrijpen met alleen de Wiskunde B van het middelbaar onderwijs.
Het geval n = 6 is natuurlijk ook bewezen als het geval n = 3 bewezen is.

Je kan geen positieve gehele getallen a, b en c vinden, zo dat a⁴ + b⁴ = c⁴ is.

Om de laatste stelling van Fermat voor n = 4 te bewijzen hebben we twee simpele methodes nodig. Ten eerste de methode om Pythagorische drietallen te vinden en ten tweede de methode van oneindige daling. Ben je bekend met deze methodes dan kun je gewoon doorlezen en zo niet raad ik je eerst aan om deze methodes te lezen.

Als je de methodes waarnaar de link hierboven gelezen hebt en begrepen hebben we alle nodige kennis om te laten zien dat er geen x, y, z > 0 bestaan die aan x⁴ + y⁴ = z⁴ voldoen.

Aanname: Er bestaan minimaal één x, y en z die aan x⁴ + y⁴ = z⁴ voldoen.
We gaan met de methode van oneindige daling bewijzen dat er steeds een kleinere x, y, z bestaan die aan bovenstaande vergelijking voldoen. Dat betekent dus als dat aangezien x, y en z gehele getallen zijn het onmogelijk is dat er steeds een kleinere bestaat. Dus dan is bewezen dat er geen x, y en z bestaan die aan de vergelijking voldoen.

Net als bij de Pythagorische drietallen kunnen we zeggen dat x, y en z relatief priem (geen gemeenschappelijke factoren) zijn en zelfs elke twee getallen, want door x⁴ + y⁴ = z⁴ zou de derde dezelfde deler hebben en dan zouden we zijn vierde macht eruit kunnen delen.
Dus (x², y², z²) is een Pythagorisch drietal en we hebben dan (door eventueel de rollen van x en y te verwisselen):

x² = 2pq
y² = p² - q²
z² = p² + q²

met p en q relatief priem en van verschillende pariteit en p > q.
y² = p² - q² kun je schrijven als y² + q² = p² en doordat p en q relatief priem zijn is (y, q, p) een primitief Pythagorisch drietal. p is oneven en omdat p en q tegengestelde pariteit hebben is q even.
We hebben nu dus

q = 2ab
y = a² - b²
p = a² + b²

voor a en b relatief priem en van verschillende pariteit en a > b. Dus x² = 2pq = 4ab(a² + b²).
Dit laat zien dat ab(a² + b²) een kwadraat is, namelijk het kwadraat van de helft van het even getal x. Maar ab en a² + b² zijn relatief priem omdat elke priem P dat ab deelt a of b moet delen (niet beide, omdat ggd(a,b) = 1) en daardoor niet a² + b²  kan delen. Daardoor moeten ab en a² + b² beide kwadraten zijn. Maar dan, sinds ab een kwadraat is en ggd(a,b) = 1 moeten a en b beide kwadraten zijn, zeg a = X² en b = Y². En dus is X⁴+Y⁴ = a² + b² een kwadraat.

En nu volgens de methode van oneindige afname:
het enige wat we gebruikt hebben was dat z⁴ een kwadraat was, niet dat het een vierde macht was. M.a.w. als x en y positieve gehele getallen zijn zodanig dat x⁴ + y⁴ een kwadraat is, dan krijgen we m.b.v bovenstaande stappen een nieuw paar positieve gehele getallen X en Y zodanig dat X⁴ + Y⁴ een kwadraat is.

X⁴ + Y⁴ = a² + b² = p < p² + q² = z² < z⁴ = x⁴ + y⁴

We hebben nu dus een dalende rij van positieve gehele getallen wat onmogelijk is: als je al de kleinste hebt waar dit aan voldoet dan bestaan er niet nog kleinere. Hierbij is de stelling van Fermat voor n = 4 bewezen.

Het bewijs van de laatste stelling van Fermat voor n = 4 is een puur elementair bewijs en daarom goed te begrijpen. Er worden wel een paar dingen gebruikt waar je even iets dieper over na moet denken. In principe bestaat het bewijs voor dit geval uit de combinatie van twee methodes: het vinden van Pythagorische drietallen en de methode van oneindige daling.

Ten eerste wat is nu precies een Pythagorisch drietal? Een Pythagorisch drietal is een drietal positieve getallen (geen nul!) die aan x² + y² = z² voldoen. Het bekendste voorbeeld is het drietal (3, 4, 5), een ander drietal is (5, 12, 13). Merk op dat bijvoorbeeld het drietal (6, 8, 10) wezenlijk niet veel verschilt van (3, 4, 5): 10² = 8² + 6² = 2²·(3² + 4²) = 2²·5².
Merk in het algemeen op dat als een getal d alle drie de getallen x, y en z deelt (x, y en z zijn deelbaar door), dat dan d² uit de vergelijking x² + y² = z² gehaald kan worden. En dus is (x/d, y/d, z/d) ook een Pythagorische drietal. Als d de grootste gemene deler is van x, y en z dan hebben x/d, y/d, z/d geen gemeenschappelijke delers anders dan 1 en we noemen dit drietal dan een primitief Pythagorisch drietal. Voorbeelden van primitieve Pythagorische drietallen zijn: (3, 4, 5), (12, 5, 13), (8, 15, 17).
Op deze manier kan elk Pythagorisch drietal gereduceerd worden tot een primitief Pythagorisch drietal. Andersom is het dus voldoende om alleen primitieve Pythagorische drietallen te kunnen vormen, aangezien je door vermenigvuldiging met d een ander drietal krijgt: (xd, yd, zd).
Merk op dat de ggd van elk twee van de drie primietive Pythagorische drietallen 1 is (ze zijn relatief priem). Want als bijvoorbeeld d een deler zou zijn van x en y (ggd (x, y) = d) dan zou d² z² delen en dus d deelt z. Dus dan zou d x, y en z delen en dat kan niet omdat het drietal primitief is.
Hieruit volgt dat er maximaal 1 van de drie getallen uit ons drietal even mag zijn, want als er 2 (of 3) even zouden zijn dan zou de ggd van x en y minimaal twee zijn.
Dus er moeten minstens twee van de drie oneven zijn. Maar het kan niet zo zijn dat ze alle drie oneven zijn omdat je dan
x² + y² = z²: oneven + oneven = oneven zou hebben en zoals we weten geven twee oneven getallen bij elkaar opgeteld een even getal.
Dus we kunnen nu zeggen dat een primitief Pythagorisch drietal bestaat uit een even en twee oneven getallen. Maar welke is nu even en welke twee oneven? We kunnen zeggen dat een oneven getal de vorm 2n+1 heeft met n een geheel getal. Als je het kwadraat hiervan neemt krijg je 4n² + 4n + 1 = 4 (n² +  n) + 1. Het kwadraat van een even getal 2n is 4n².
Stel nu dat x en y oneven zijn en z even, dan krijg je als je dit invult in x² + y² = z²:

4(n² + n) + 1 + 4(m² + m) + 1 = 4p
4(n² +m² + m + n) + 2 = 4p

wat duidelijk onmogelijk is (een veelvoud van vier plus twee kan nooit gelijk zijn aan en veelvoud van vier).
We weten nu dat z oneven moet zijn en x en y verschillende pariteit hebben, de een even de andere oneven. We zullen vanaf nu aannemen dat x even is en y oneven (als dat niet het geval is dan draai je de rollen van x en y gewoon om).
Als we nu de vergelijking x² + y² = z² herschrijven naar x² = y² - z² = (z+y)(z-y) kunnen we concluderen dat x², (z+y) en (z-y) alle drie even zijn. Dus we kunnen zeggen dat er getallen u, v, w bestaan zodat

x = 2u
z + y = 2v
z - y = 2w

Dan geldt ook (2u)² = (2v)(2w) wat gelijk is aan u² = vw.
Merk nu op dat v en w relatief priem zijn (ggd(v,w) = 1) omdat elk getal dat beide zou delen ook
v + w = ½·(z + y) + ½·(z - y) = ½ (2z) = z  en v - w = ½·(z + y) - ½·(z - y) = y zou moeten delen en dat getal kan alleen 1 zijn dus v en w zijn relatief priem.
We hebben net gezien dat vw = u²: de enige manier dat mogelijk is zodat het product van twee getallen die relatief priem zijn een kwadraat is, is dat v en w zelf kwadraten zijn. Dat is logisch als je de priemontbinding van v en w bewschouwd. Doordat ze relatief priem zijn komt er geen dezelfde priemgetal in zowel v als w voor dus de priemfactorisatie van vw is het product van de priemfactorisatie van v en w.
Wil vw een kwadraat zijn dat moeten alle priemgetallen in de factorisatie van vw in even machten voorkomen dus alle priemgetallen in de factorisatie van v en w komen ook in even machten voor. Dus v en w zijn kwadraten.
Dus er bestaan positieve gehele getallen p en q zodanig dat v = p² en w = q². De getallen p en q zijn relatief priem omdat v en w dat zijn (triviaal).
We hebben nu:

z = v + w = p² + q²
y = v - w = p² - q²

Hieruit volgt dat p groter moet zijn dan q en dat p en q tegengestelde pariteit hebben.
Nu kunnen we x in termen van p en q gaan schrijven:

x² = z² - y² = p^4 + 2p²q² + q^4 - p^4 + 2p²q² - q^4
= 4p²q² = (2pq)²
x = 2pq

We hebben nu dus laten zien dat voor elk primitief Pythagorisch drietal er een p en q relatief priem bestaan met p > q en van verschillende pariteit zodanig dat het primitieve drietal (2pq, p² - q², p² + q²) is.
Andersom hebben we dat gegeven elk paar p en q die aan de volgende voorwaarden voldoen

• p en q zijn relatief priem
• p is groter dan q
• p en q zijn van verschillende pariteit

het volgende primitieve Pythagorische drietal (2pq, p² - q², p² + q²) gevormd kan worden.

Wat is de methode van oneindige afname?
Fermat zelf bedacht deze methode en beweerde dat al zijn bewijzen uit de getaltheorie op deze methode berustten.
Kort samengevat berust deze methode op het volgende. De methode bewijst dat bepaalde eigenschappen of relaties onmogelijk zijn voor gehele getallen door te laten zien dat ze voldoen voor alle getallen ze ook voldoen voor kleinere getallen en als je als de kleinste hebt dan bestaan er niet een nog kleinere. Je maakt in feite een rij positieve gehele getallen die steeds afneemt (wat dus onmogelijk is).

Naar het  bewijs.