Een priemgetal is een natuurlijk getal (een positief geheel getal) groter dan 1 dat alleen door zichzelf en door 1 deelbaar is.
Er zijn verschillende bewijzen om te laten zien dat er oneindig veel priemgetallen zijn. In dit bewijs zal ik laten zien dat voor elk willekeurig natuurlijk getal N er een priemgetal bestaat dat groter is dan deze N.
We nemen een willekeurig getal N. Hiervan nemen we de faculteit (N! = 1 x 2 x 3 x ···
x N) en tellen er 1 bij op. Dit getal noemen we voor het gemak K, K is dus gelijk aan N! + 1.
We gaan nu domweg de getallen N + 1, N + 2, N + 3, enz na en proberen uit of dit getal K deelt (maw K gedeeld door dat getal levert een geheel getal op).
Uiteindelijk zullen we een getal P vinden met de volgende eigenschappen:
1. Dit getal P deelt K (maw er is een A met K = P x A), en
2. Geen ander getal tussen N en P deelt K.
Deze P die we gevonden hebben is een priemgetal. K is zo gekozen dat alle priemgetallen kleiner of gelijk aan N, K niet delen (ze leveren steeds rest 1 op). En als P zelf opgebouwd zou zijn uit kleinere priemfactoren, dan zouden die groter moeten zijn dan N en dan zouden we ze al gevonden hebben voordat we bij P aangekomen waren. Met andere woorden P is een priemgetal. En hebben we dus een priemgetal gevonden die groter is dan elke willekeurige N, dus zijn er oneindig veel priemgetallen.
