Stel Ö2 = p ¸ q, waarbij de breuk p/q niet meer vereenvoudigd kan worden.
We hebben dus:
Ö2 = p/ q
2 = p²/q²
2*q² = p²
Hieruit volgt dus dat p² even moet zijn.
Dus is p zelf ook even (logisch, want als p oneven zou zijn, dan zou zijn kwadraat dat ook zijn: (2n+1)2 = 4n2 + 4n + 1, is duidelijk een oneven getal).
We kunnen p dus schrijven als 2*a en p2 is dan gelijk aan 4*a². Dus:
2*q² = 4*a²
q²= 2*a²
Dus is q² even en dus is q ook.
Maar wacht eens even, p en q kunnen niet allebei even zijn, want dan zou p/ q vereenvoudigd kunnen worden. Met andere woorden Ö2 kan niet als breuk geschreven worden!
Ö2 is irrationaal.
